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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
g) f(x)=xx2−1f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)
Pidiendo que el denominador sea distinto de cero, llegamos a que el dominio de ff es R−{−1,1}\mathbb{R} - \{-1,1\} 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Nuestros candidatos a asíntota vertical son x=−1x=-1 y x=1x=1. Estudiamos el comportamiento de la función cerca de ellos tomando límite:

lim⁡x→1−xx2−1=−∞ \lim_{x \to 1^-} \frac{x}{x^2 - 1} = -\infty
lim⁡x→1+xx2−1=+∞ \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x^2 - 1} = +\infty
lim⁡x→−1−xx2−1=−∞ \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{x^2 - 1} = -\infty
lim⁡x→−1+xx2−1=+∞ \lim_{x \to -1^+} \frac{x}{x^2 - 1} = +\infty Por lo tanto, hay asíntotas verticales en x=1x = 1 y x=−1x = -1.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty
lim⁡x→+∞xx2−1=0 \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0
lim⁡x→−∞xx2−1=0 \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0 Esto indica que ff tiene una asíntota horizontal en y=0y=0. 
3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=(x2−1)−x ⋅2x(x2−1)2=−x2−1(x2−1)2 f'(x) = \frac{(x^2 - 1) - x  \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2}
4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:
−x2−1(x2−1)2=0\frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = 0

−x2−1=0-x^2-1 = 0

x2=−1→x^2 = -1 \rightarrow Absurdo

Por lo tanto, ff no tiene puntos críticos.
  5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) (−∞,−1) (-\infty, -1) b) (−1,1) (-1, 1) c) (1,+∞) (1, +\infty)   6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos:
Y ahora podés reemplazar con algún número de cada intervalo en f′(x)f'(x) e ir chequeando qué signo te da, como siempre, pero también si mirás con atención la expresión de f′(x)f'(x), vas a ver que algo así siempre siempre te va a devolver un número negativo. Por lo tanto, ff es siempre decreciente en su dominio. 
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-19%2018:17:47_3817007.png
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